基于超球重要抽样的相关正态变量情况下的可靠性试验灵敏度分析

 基于超球重要抽样的相关正态变量情况下的可靠性试验灵敏度分析

上述两种基于Monte Carlo数字模拟法的可靠性试验灵敏度分析方法的显著缺点是效率太低，由于绝大部分情况下引入的密度函数的密度中心处于远离失效域的安全域内，因此大多数样本点均落在安全域内，对可靠性试验灵敏度的估计贡献较小，为此本节将讨论采用自适应超球重要抽样的方法来进行相关正态变量情况下的可靠性试验灵敏度分析。

为理解方便，本节首先引入了超球重要抽样法进行可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析的基本原理，并采用文献[5]提出的一种自适应超球重要抽样可靠性试验分析方法的思想，在对自适应超球重要抽样进行改进的基础上，形成一种搜索效率更高的自适应重要抽样法，并将其扩展到相关正态变量情况下的可靠性试验灵敏度分析，建立了基于超球自适应重要抽样的可靠性试验灵敏度分析的直接法和转换法。

 超球重要抽样的基本原理

 失效概率分析

由于安全域中的样本点对失效概率的贡献较小，文[9]提出了可靠性试验分析的超球重要抽样法。该方法的基本思想是确定安全域中的一个半径为的超球，由于超球位于安全域，因此落入超球内的样本点无需计算极限状态函数值即可判别其落在安全域，从而减少了可靠性试验分析所需的极限状态函数的计算次数，提高了可靠性试验分析数字模拟方法的效率。从理论上来说，只要能够确定安全域中的一个半径为的超球，就可以提高计算的效率，显然位于安全域中的超球的半径越大，计算效率提高的越多。

由于独立标准正态空间特殊的统计特性，传统的超球重要抽样可靠性试验分析均是在独立的标准正态空间中完成的。在独立标准正态空间中，以坐标原点为球心，以坐标原点到极限状态方程上的最可能失效点的距离为半径的超球是安全域中最大的超球。传统的超球重要抽样法一般是通过寻找标准正态空间的最可能失效点来确定最大的安全域超球的。

以记维独立标准正态空间，记安全域内超球的半径，记标准正态空间的极限状态函数，F记失效域，则失效概率可由全概率公式写成下列形式：

其中。

由于～且相互独立，因此～，从而有

其中是自由度为的分布函数。

进而失效概率可改写为下式

基于超球重要抽样的可靠性试验分析时，仍然采用Monte Carlo法抽取个独立的标准正态变量的样本点，首先筛选出这个样本点中落在超球外的个样本点，然后计算这个样本点的极限状态函数值，由下式给出失效概率的估计值。

对式所示的失效概率估计值求数学期望和方差分别有以下两式成立。

显然，基于超球重要抽样的失效概率估计值是失效概率的无偏估计。

在数值模拟的过程中，考虑用样本平均值和方差分别代替总体的数学期望和方差，可近似得到失效概率估计值的数学期望和方差分别如以下两式所示。

与Monte Carlo法相比，在得到相同精度的失效概率估计值情况下，基于超球重要抽样的方法节省的极限状态函数的估计次数为，这种节省量随失效概率的减小和超球半径的增大而增大。

 可靠性试验灵敏度分析

在独立的标准正态空间中，对基于超球重要抽样的可靠性试验分析方法进行扩展，即可得到相应的可靠性试验灵敏度分析方法。从上述个样本点中筛选出落在超球外的个样本点后，可按下式估计失效概率对随机变量的第个分量的分布参数的可靠性试验灵敏度。

与失效概率估计值的数学期望和方差的求解过程类似，可靠性试验灵敏度估计值的数学期望和方差在数字模拟的过程中可分别由式和来估计，并且基于超球重要抽样的可靠性试验灵敏度估计值同样是的无偏估计。

 确定超球半径的自适应策略

超球重要抽样需解决的关键问题是确定超球的半径，一次二阶矩方法(FORM)可以用来确定较优超球半径，但该方法不稳健，尤其是针对含高维随机变量的隐式极限状态函数，一次二阶矩法常常出现不收敛或是陷入局部较优等问题。针对一次二阶矩法存在的问题，文献[5]提出了一种自适应确定超球较优半径的方法，该方法的基本思想是在抽样的过程中，利用失效域提供的信息逐步修正超球的半径，使得其稳健的收敛于较优半径。但文[5]在搜索较优超球半径时需要增加的额外工作量较大，本小节在文[5]自适应寻找超球较优半径的基础上提出了如下搜索超球较优半径的流程（下述流程的讨论如无特别说明均是在标准正态空间中进行的）。

(1)、设置初始超球半径；

与传统方法有所不同，自适应超球重要抽样在设置初始半径时应满足超球与失效域相交，这种的设置可以通过使得式所示的样本点落在超球外的概率取很小的值来实现。由于结构的失效概率一般较小，所以一般选取比较合适。选取后，可由下式确定初始。

(2)、设置随机数的初始状态并产生随机数；

(3)、计算半径为的超球外样本点的极限状态函数并确定失效样本；

对于的样本点，计算其对应的极限状态函数值，并保存计算结果，避免后续再次重复的计算该样本点对应的极限状态函数值。同时，对于的样本点，按式或进行失效概率或可靠性试验灵敏度的累加计算。

(4)、线性搜索以确定第次迭代的超球半径；

对所有满足且的样本点，即落入第次迭代的超球外的失效样本点，如图4.1中的A、B点，分别求其概率密度函数，选取其中概率密度函数最大的样本点，在其与坐标原点的连线方向上进行线性搜索，由于是内插搜索，因此一般经过2到3次搜索，即可确定该连线与极限状态的近似交点，交点到原点的距离即为新的超球半径。

图4.1 决定超球较优半径的自适应策略示意图

 

(5)、计算第与次超球之间的样本点的极限状态函数值并确定失效样本；

对于的样本，计算其对应的极限状态函数值，并保留结果，对于这些样本中者，按式或进行失效概率或可靠性试验灵敏度的累加计算。

(6)、重复(4)和(5)步直至下列收敛条件被满足即可得到超球的较优半径

确定超球较优半径流程的迭代终止条件为失效概率的最大相对误差低于失效概率的相对误差限。由中心极限定理可知，失效概率估计值近似服从均值为、方差为的正态分布，因此根据标准正态分布的上分位点的定义有式成立。

由上式可得到失效概率估计值置信度为的置信区间如式所示。

由此可得失效概率的相对误差限为

由于在上述数字模拟过程中，为失效概率的无偏估计，因此上式所示的失效概率的相对误差限可近似表示为

如果将失效概率估计值的变异系数设置为0.1，则在给定95%的置信水平的情况下失效概率相对误差的极限值为[5]

这个精度对于大多数工程应用是合理的，而且实际误差将是小于误差极限值的。