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为了研究上述过程得到的疲劳分散系数置信区间的可信性，先进行下面的已知寿命母体的验证模拟计算。
假定对数寿命服从均值为4.5、标准差为0.2的正态分布，即
。随机抽取容量为5、10和15的子样各20组，与文献[1]采用相同的可靠度和置信度要求，即可靠度
、置信度
，将按原始样本直接估计得到的标准差估计值
、由式计算得到的疲劳分散系数估计值
、上述9.2节Bootstrap方法计算的母体标准差置信区间
以及疲劳分散系数置信区间
均列于表9 1、表9 2和表9 3中。
对于上述已知寿命母体的问题，由式可以得到其疲劳分散系数的真值为
。将此真值、表9 1~表9 3中的疲劳分散系数估计值
及疲劳分散系数置信区间
绘制成曲线，分别如图9.1、图9.2和图9.3所示，以更加直观的比较结合纠偏的百分位思想的Bootstrap方法计算的疲劳分散系数置信区间的可信性。
表9 1 20组容量为5的子样的标准差及疲劳分散系数估计结果
|
序号 |
|
|
|
|
序号 |
|
|
|
|
|
1 |
0.1664 |
4.0 |
[0.1236, 0.2140] |
[2.1, 4.8] |
11 |
0.1930 |
4.9 |
[0.1194, 0.2961] |
[3.5, 10.8] |
|
2 |
0.1163 |
2.6 |
[0.0945, 0.1346] |
[1.9, 2.8] |
12 |
0.1105 |
2.5 |
[0.0840, 0.1522] |
[2.2, 3.9] |
|
3 |
0.2212 |
6.2 |
[0.0961, 0.2908] |
[1.9, 8.5] |
13 |
0.2215 |
6.2 |
[0.1192, 0.3058] |
[4.3, 18.5] |
|
4 |
0.1355 |
3.1 |
[0.0899, 0.2080] |
[1.8, 3.8] |
14 |
0.0650 |
1.7 |
[0.0213, 0.0887] |
[1.5, 2.5] |
|
5 |
0.2329 |
6.8 |
[0.1673, 0.3242] |
[2.7, 9.1] |
15 |
0.1457 |
3.3 |
[0.0947, 0.2239] |
[2.6, 5.9] |
|
6 |
0.2688 |
9.2 |
[0.2372, 0.3120] |
[4.7, 10.6] |
16 |
0.1429 |
3.3 |
[0.0491, 0.1903] |
[2.5, 7.1] |
|
7 |
0.1241 |
2.8 |
[0.0497, 0.1722] |
[1.5, 3.5] |
17 |
0.1562 |
3.6 |
[0.0480, 0.2042] |
[2.7, 8.9] |
|
8 |
0.1814 |
4.5 |
[0.1146, 0.2622] |
[2.2, 5.9] |
18 |
0.1658 |
3.9 |
[0.1014, 0.2203] |
[3.2, 7.6] |
|
9 |
0.2401 |
7.3 |
[0.1532, 0.3307] |
[2.5, 9.9] |
19 |
0.1029 |
2.3 |
[0.0887, 0.1182] |
[2.2, 3.3] |
|
10 |
0.2177 |
6.0 |
[0.1081, 0.2855] |
[2.2, 8.2] |
20 |
0.1577 |
3.7 |
[0.1366, 0.1896] |
[3.2, 6.6] |
备注：其中，Bootstrap方法的再抽样次数
，以下相同。
图9.1 各种不同方法计算的20组容量为5的子样的疲劳分散系数
表9 2 20组容量为10的子样的标准差及疲劳分散系数估计结果
|
序号 |
|
|
|
|
序号 |
|
|
|
|
|
1 |
0.2175 |
5.5 |
[0.1663, 0.2822] |
[3.7, 9.2] |
11 |
0.2065 |
5.1 |
[0.1611, 0.2524] |
[3.6, 7.3] |
|
2 |
0.1739 |
3.9 |
[0.0993, 0.2422] |
[2.2, 6.7] |
12 |
0.1581 |
3.5 |
[0.1277, 0.2017] |
[2.7, 4.9] |
|
3 |
0.1283 |
2.7 |
[0.0696, 0.1788] |
[1.7, 4.1] |
13 |
0.1759 |
4 |
[0.1239, 0.2395] |
[2.7, 6.6] |
|
4 |
0.1309 |
2.8 |
[0.1116, 0.1567] |
[2.4, 3.4] |
14 |
0.1515 |
3.3 |
[0.0775, 0.2145] |
[1.8, 5.4] |
|
5 |
0.1898 |
4.5 |
[0.1396, 0.2533] |
[3.0, 7.3] |
15 |
0.1298 |
2.8 |
[0.0583, 0.1894] |
[1.6, 4.4] |
|
6 |
0.1574 |
3.4 |
[0.0977, 0.1937] |
[2.2, 4.6] |
16 |
0.1223 |
2.6 |
[0.0670, 0.1716] |
[1.7, 3.9] |
|
7 |
0.2295 |
6.1 |
[0.1549, 0.2833] |
[3.4, 9.3] |
17 |
0.2354 |
6.4 |
[0.1733, 0.3127] |
[3.9, 11.7] |
|
8 |
0.1796 |
4.1 |
[0.1327, 0.2365] |
[2.8, 6.4] |
18 |
0.1137 |
2.4 |
[0.0888, 0.1478] |
[2.0, 3.2] |
|
9 |
0.1333 |
2.9 |
[0.1043, 0.1713] |
[2.3, 3.8] |
19 |
0.1994 |
4.8 |
[0.1619, 0.2462] |
[3.6, 6.9] |
|
10 |
0.2696 |
8.3 |
[0.1740, 0.3619] |
[3.9, 17.2] |
20 |
0.171 |
3.8 |
[0.1390, 0.2088] |
[3.0, 5.2] |
图9.2 各种不同方法计算的20组容量为10的子样的疲劳分散系数
表9 3 20组容量为15的子样的标准差及疲劳分散系数估计结果
|
序号 |
|
|
|
|
序号 |
|
|
|
|
|
1 |
0.1902 |
4.3 |
[0.1534, 0.2285] |
[3.3, 5.8] |
11 |
0.1829 |
4.1 |
[0.1031, 0.2634] |
[2.2, 7.6] |
|
2 |
0.1738 |
3.8 |
[0.1324, 0.2245] |
[2.8, 5.6] |
12 |
0.2386 |
6.3 |
[0.1649, 0.3102] |
[3.6, 10.9] |
|
3 |
0.1369 |
2.9 |
[0.0746, 0.1972] |
[1.8, 4.6] |
13 |
0.1654 |
3.6 |
[0.1364, 0.2032] |
[2.9, 4.8] |
|
4 |
0.138 |
2.9 |
[0.1012, 0.1866] |
[2.2, 4.2] |
14 |
0.2029 |
4.8 |
[0.1640, 0.2458] |
[3.5, 6.6] |
|
5 |
0.2007 |
4.7 |
[0.1513, 0.2626] |
[3.2, 7.5] |
15 |
0.1485 |
3.1 |
[0.1178, 0.1874] |
[2.5, 4.2] |
|
6 |
0.1644 |
3.5 |
[0.1301, 0.2076] |
[2.7, 4.9] |
16 |
0.1774 |
3.9 |
[0.1277, 0.2405] |
[2.7, 6.4] |
|
7 |
0.2029 |
4.8 |
[0.1661, 0.2510] |
[3.6, 6.9] |
17 |
0.2209 |
5.5 |
[0.1892, 0.2642] |
[4.3, 7.6] |
|
8 |
0.2085 |
5 |
[0.1574, 0.2653] |
[3.4, 7.7] |
18 |
0.1831 |
4.1 |
[0.0953, 0.2702] |
[2.1, 8.0] |
|
9 |
0.1903 |
4.3 |
[0.1525, 0.2393] |
[3.2, 6.3] |
19 |
0.1872 |
4.2 |
[0.1444, 0.2360] |
[3.0, 6.2] |
|
10 |
0.1699 |
3.7 |
[0.1095, 0.2344] |
[2.3, 6.1] |
20 |
0.1662 |
3.6 |
[0.1239, 0.2135] |
[2.6, 5.2] |
图9.3 各种不同方法计算的20组容量为15的子样的疲劳分散系数
由图9.1~图9.3分别所示的20组容量为5、10、15的疲劳寿命数据的分散系数曲线可以看出，由本文方法计算得到的置信度为90%的疲劳分散系数的置信区间绝大部分均是包含分散系数真值4.0的。而且随着样本容量的增加，疲劳分散系数置信区间包含真值的几率越来越大。
另一方面，从工程意义上讲，疲劳分散系数越大，得到的飞机疲劳安全寿命越安全。因此在一定的误差范围内，疲劳分散系数的估计值稍微大些比较好。由图9.1~图9.3可以看出，采用置信上限来近似疲劳分散系数时，在样本容量为5、10、15的情况下，置信上限小于真值的组数分别仅为6、3、0，而通过原始样本对标准差进行点估计得到的疲劳分散系数小于真值的组数分别为11、11、9，由此得到的飞机疲劳安全寿命偏危险的组数明显要多于本文方法。从这个意义上讲，针对疲劳寿命小子样统计分析问题，比之于通过对试验数据进行点估计而得到的疲劳分散系数，采用本文方法得到的疲劳分散系数的置信上限是更为安全的结果。
