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算例2.1：非线性极限状态函数为
，其中各随机变量相互独立，且服从标准正态分布，表2 1给出可靠性试验灵敏度计算结果的对照，表2 2则给出重要抽样可靠性试验灵敏度估计值与Monte Carlo可靠性试验灵敏度估计值在0.95置信度下的置信区间的对照。其中表2 1中的相对误差表示以Monte Carlo解为精确解，重要抽样分析结果与Monte Carlo解的相对误差，以下相同。
表2 1 算例2.1的可靠性试验灵敏度分析结果
|
|
Monte Carlo |
重要抽样 |
相对误差(%) |
|
|
抽样次数 |
5×106 |
4×104 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.001821 |
0.001847 |
1.428 |
|
变异系数 |
0.010469 |
0.009192 |
— |
|
|
|
估计值 |
-0.002643 |
-0.002709 |
2.497 |
|
变异系数 |
0.012031 |
0.010294 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.003241 |
0.003354 |
3.487 |
|
变异系数 |
0.018756 |
0.015432 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.005184 |
0.005231 |
0.907 |
|
变异系数 |
0.010617 |
0.008819 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.013354 |
0.013399 |
0.337 |
|
变异系数 |
0.011232 |
0.008652 |
— |
|
表2 2 算例2.1的可靠性试验灵敏度估计值在0.95置信度下的置信区间
|
|
Monte Carlo |
重要抽样 |
||||
|
抽样次数 |
5×106 |
4×104 |
5×106 |
|||
|
区间及
区间长度 |
置信区间
×10-3 |
区间
长度
×10-4 |
置信区间
×10-3 |
区间
长度
×10-4 |
置信区间
×10-3 |
区间
长度
×10-5 |
|
|
(-2.705,-2.581) |
1.24 |
(-2.764,-2.655) |
1.09 |
(-2.690,-2.681) |
0.9 |
|
|
(3.122,3.360) |
2.38 |
(3.254,3.457) |
2.03 |
(3.274,3.292) |
1.8 |
|
|
(5.076,5.292) |
2.16 |
(5.141,5.322) |
1.81 |
(5.222,5.238) |
1.6 |
|
|
(13.060,13.648) |
5.88 |
(13.172,13.627) |
4.55 |
(13.404,13.444) |
4.0 |
从表2 1可以看出，Monte Carlo法与重要抽样法抽样次数之比为5×106：4×104时，重要抽样可靠性试验灵敏度估计值的变异系数小于Monte Carlo估计值，而且计算精度很高。从表2 2可以看出，在抽样次数相同的情况下，重要抽样可靠性试验灵敏度估计值的置信区间比Monte Carlo估计值的置信区间小得多。
算例2.2：如图2.1所示的九盒段结构，由64个杆元件、42个板元件构成，材料为铝合金，原始数据取自文献[11]。已知外载荷与各个单元的强度均为正态随机变量，且外载荷
的均值和变异系数分别为
、
，第
个单元强度
的均值和变异系数分别为
、
。由失效模式的枚举方法可求得结构体系的一个主要失效模式的极限状态函数为
。表2 3和表2 4分别给出可靠性试验灵敏度计算结果的对照和置信度为0.95的置信区间的对照。
表2 3 算例2.2的可靠性试验灵敏度分析结果
|
|
Monte Carlo |
重要抽样 |
相对误差(%) |
|
|
抽样次数 |
106 |
35000 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.00979 |
0.009668 |
0.979 |
|
变异系数 |
0.010057 |
0.008842 |
— |
|
|
|
估计值 |
-0.001326 |
-0.001301 |
1.885 |
|
变异系数 |
0.011960 |
0.010614 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.001562 |
0.001547 |
0.960 |
|
变异系数 |
0.019196 |
0.017866 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.001325 |
0.001319 |
0.453 |
|
变异系数 |
0.012004 |
0.010507 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.001575 |
0.001579 |
0.254 |
|
变异系数 |
0.019219 |
0.017222 |
— |
|
|
|
估计值 |
-0.001326 |
-0.001302 |
1.810 |
|
变异系数 |
0.011960 |
0.010503 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.001562 |
0.001528 |
2.177 |
|
变异系数 |
0.019218 |
0.017368 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.000332 |
0.000329 |
0.904 |
|
变异系数 |
0.012291 |
0.010900 |
— |
|
|
|
估计值 |
0.000367 |
0.000369 |
0.545 |
|
变异系数 |
0.020699 |
0.018673 |
— |
|
图2.1 九盒段结构示意图
表2 4 算例2.2的灵敏度估计值置信度为0.95的置信区间
|
|
Monte Carlo |
重要抽样 |
||||
|
抽样次数 |
106 |
35000 |
106 |
|||
|
区间及
区间长度 |
置信区间
×10-3 |
区间
长度
×10-4 |
置信区间
×10-3 |
区间
长度
×10-4 |
置信区间
×10-3 |
区间
长度
×10-5 |
|
|
(-1.357,-1.295) |
0.62 |
(-1.328,-1.274) |
0.54 |
(-1.338,-1.328) |
1.0 |
|
|
(1.503,1.620) |
1.17 |
(1.494,1.602) |
1.08 |
(1.569,1.589) |
2.0 |
|
|
(1.294,1.356) |
0.62 |
(1.291,1.346) |
0.55 |
(1.328,1.339) |
1.1 |
|
|
(1.516,1.634) |
1.18 |
(1.525,1.632) |
1.07 |
(1.571,1.591) |
2.0 |
|
|
(-1.357,-1.295) |
0.62 |
(-1.329,-1.276) |
0.53 |
(-1.338,-1.328) |
1.0 |
|
|
(1.503,1.620) |
1.17 |
(1.477,1.581) |
1.04 |
(1.569,1.589) |
2.0 |
|
|
(0.324,0.340) |
0.16 |
(0.322,0.337) |
0.15 |
(0.332,0.335) |
0.3 |
|
|
(0.352,0.382) |
0.3 |
(0.356,0.383) |
0.27 |
(0.367,0.372) |
0.5 |
从算例2.2的工程算例可以看出，在Monte Carlo法和重要抽样法抽样次数之比为106：35000时，重要抽样可靠性试验灵敏度估计值的变异系数均小于Monte Carlo可靠性试验灵敏度估计值的变异系数，且计算精度很高。两者在抽样次数相同的情况下，重要抽样可靠性试验灵敏度估计值的置信区间要比Monte Carlo法得到的置信区间小很多，这充分说明重要抽样可靠性试验灵敏度分析方法是一种高效的可靠性试验灵敏度分析方法。
