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与可靠性试验分析的数字模拟法类似，许多数字模拟的方法被发展起来用于可靠性试验灵敏度估计[1-9]，在已发展得较为完善的可靠性试验灵敏度分析的数字模拟方法中，Monte Carlo法和重要抽样法的应用最为广泛。Monte Carlo法以其思路简单、易于实现、结果准确而常常作为一种检验其它新方法的标准[10]，但Monte Carlo可靠性试验灵敏度分析方法的显著缺点是计算效率低，其所需要的计算量往往是工程设计人员无法接受的。重要抽样法由于将抽样的密度中心移到了对可靠性试验灵敏度贡献较大的区域而提高了抽样效率，加快了可靠性试验灵敏度估计值的收敛速度[11]。
第二章通过对传统重要抽样法进行方差分析及变异系数估算验证了传统重要抽样法进行可靠性试验灵敏度分析的高效性，本章将在传统重要抽样可靠性试验灵敏度分析方法的基础上提出一种改进的方法。改进方法的基本思想是利用失效域的性质来减少功能函数的计算次数，以提高灵敏度分析方法的计算效率。重要抽样可靠性试验灵敏度分析首先必须寻找失效域的最可能失效点，而该点与可靠度指标是一一对应的。在标准正态空间中失效域位于以坐标原点为球心可靠度指标为半径的超球外，所提方法正是利用失效域的这一性质来减少可靠性试验灵敏度计算所需的功能函数的计算次数的。本章给出了详细的分析过程及所提方法对单模式和多模式串联系统进行可靠性试验灵敏度分析时估计值的方差和变异系数的计算公式，最后采用算例对所提方法的效率进行了说明。
由于独立正态变量具有一定的普遍性，因此本章仍然主要研究独立正态变量情况，即假设所研究问题包含的
维基本变量
相互独立且均服从正态分布，
，
和
分别为
的均值与标准差。
第2.1节和2.2节已经分别给出了基于直接Monte Carlo法和基于重要抽样法的可靠性试验灵敏度分析过程，这里不再详述。
从式可知，采用重要抽样法来估计可靠性试验灵敏度时，需要计算每个重要抽样样本点
处的功能函数值
，以判别
的函数值。若能够利用失效域的一些性质来减少功能函数值的计算次数，则可以进一步提高可靠性试验灵敏度估计的效率，改进的重要抽样可靠性试验灵敏度分析方法正是基于这一思路而提出的。
记设计点为
，并记在标准正态空间中该点的坐标为
，则
。在
维标准正态空间中，结构的失效域位于以坐标原点为球心以可靠度指标为半径的超球之外。记可靠度指标为
，则
。以
记超球内的区域，即
，则显然有
，因此落入此超球内的样本点
的指示函数
，对于这些样本点无需再计算功能函数值
。而样本点是否落入
区域可以简单地由式所示的
区域内的指示函数
来判别。
引入
区域的指示函数
后，式所示的失效概率对第
个变量
的分布参数
的可靠性试验灵敏度可改写成式所示的形式。
在数值模拟的过程中，用重要抽样密度函数
抽取的
个样本点
的样本均值来代替总体的数学期望，可以得到基于改进重要抽样法的可靠性试验灵敏度估计式如式所示。
为简便起见，记
，如2.2节所述，在独立正态变量情况下，有
将
代入式可得独立正态变量情况下基于改进重要抽样法的可靠性试验灵敏度估算公式如下所示。
式中当
、
时，
和
的计算可分别参照式和，有
，
，其中
为第
个样本
的第
个分量
对应的标准正态化样本，即
。将
和
分别代入式可以得到基于改进方法的失效概率对变量均值和标准差的可靠性试验灵敏度估计值。
从式可知，在改进的重要抽样法中只需计算按照重要抽样密度函数抽取的
个样本中
外区域的样本点的功能函数值即可，而判别样本点是否落入
区域只是一个显式函数的计算，从而使得重要抽样法的计算效率进一步提高。
采用数字模拟的方法对真值进行估计均是近似的，为了对改进的重要抽样法的收敛性有所了解，有必要对估计值作方差分析。对式所示的估计值求数学期望和方差可得
显然，
是可靠性试验灵敏度
的无偏估计。
在数值模拟的过程中考虑用样本平均值和方差代替总体的数学期望和方差，可近似得到可靠性试验灵敏度估计值
的数学期望和方差如下所示。
变异系数为估计值的标准差与估计值均值的比值，反映了估计值的相对分散性。将式和代入式，可以得到改进重要抽样法可靠性试验灵敏度估计值的变异系数。
在工程应用中，一个结构系统往往不是仅具有单一失效模式的，而常常包含多个失效模式，下面对包含多个失效模式的串联系统的可靠性试验灵敏度估计值及其方差进行讨论。
假设串联系统包含
个失效模式，以
表示每个模式的功能函数，则系统的失效域
。
由可靠性试验灵敏度的积分定义式可知结构系统的失效概率对第
个变量
的分布参数
的灵敏度可以写成下面的形式。
多模式串联系统的可靠性试验灵敏度的Monte Carlo估计的基本思想和估算公式均与3.1节所述的单模式系统相似，只是将失效域
用上面定义的系统的失效域
代替，相应的，指示函数
也要变换成系统的指示函数
，
仍然为具有两个取值的指示函数，若
，则
，否则
。
按照3.1节所述的方法，可以容易地写出系统的可靠性试验灵敏度的估算公式如下所示。
其中
为按基本变量的联合概率密度函数抽取的
个样本中的第
个。
记结构系统的第
个失效模式的设计点为
，并记其在标准正态空间中的坐标为
，则第
个失效模式相应的可靠度指标
如下所示。
以
为均值中心点、以
的方差为方差，可以构造出第
个失效模式的重要抽样密度函数，记其为
。在式所示的系统的可靠性试验灵敏度中引入函数
，其具体表达式如式所示。
则可靠性试验灵敏度可改写成式的形式。
将式代入式后结构系统的可靠性试验灵敏度可写成式所示的以每个失效模式的重要抽样密度函数
为密度函数的数学期望之和的形式。
假设对于第
个失效模式按
抽取了
个样本点
，则可靠性试验灵敏度可以用下式样本函数均值的形式来估计。
从式可知，采用重要抽样法来估计可靠性试验灵敏度时，需要计算每个重要抽样样本点
在每个失效模式下的功能函数值
。3.1节为进一步提高重要抽样的效率引入了一个超球，利用失效域的性质可以仅计算超球之外的样本点的功能函数值，从而减少功能函数的计算次数。多模式系统进行一次结构系统指示函数
值的判断就需计算
个模式的功能函数值，因此对多模式系统可靠性试验灵敏度分析的重要抽样法进行改进，减少
值的判别次数就显得更加必要了。
在求得系统
个失效模式的可靠度指标
后，与单模式情况类似，我们可以在系统安全域内引入一个半径最大的超球，亦称之为
球。此超球的球心取为标准正态空间的坐标原点，半径
取为
,则显然有超球内的区域
与系统失效域不相交，即
，因此对于落入
区域的样本点不再需要计算
个失效模式的功能函数值来判别
的值了。而样本点是否落入
只需简单的采用
区域的指示函数
由式进行判别即可。将
区域的指示函数
引入式可得式所示的可靠性试验灵敏度估算公式。
将3.1节中
的表达式代入上式可得多模式串联系统的可靠性试验灵敏度如下所示。
式中当
、
时，分别有
、
，代入式可分别得到系统失效概率对变量均值和变量标准差的可靠性试验灵敏度。其中，
表示按照第
个模式的重要抽样密度函数
抽取的第
个样本
的第
个分量
对应的标准正态化样本，即
。
对式求数学期望和方差，并在数值模拟的过程中近似用样本平均值和方差代替总体的数学期望和方差，可求得可靠性试验灵敏度估计值的期望和方差分别如式和所示。
算例3.1：考虑算例2.2的九盒段结构，分别采用直接Monte Carlo法、传统重要抽样法和改进重要抽样法对其进行可靠性试验灵敏度分析，表3 1给出了失效概率及可靠性试验灵敏度估计值的对照。
表3 1 算例3.1的失效概率及失效概率对变量均值的可靠性试验灵敏度计算结果
|
方法 |
Monte
Carlo |
传统
重要抽样 |
改进重要抽样 |
||||
|
计算功能函数值次数 |
106 |
6×104 |
57530 |
6×104 |
|||
|
|
估计值 |
0.00979 |
0.009769 |
0.009769 |
0.215% |
0.009777 |
0.133% |
|
变异系数 |
0.010057 |
0.006703 |
0.006703 |
—— |
0.006565 |
—— |
|
|
|
估计值 |
-0.001326 |
-0.001324 |
-0.001324 |
0.151% |
-0.001325 |
0.075% |
|
变异系数 |
0.011960 |
0.008042 |
0.008042 |
—— |
0.007872 |
—— |
|
|
|
估计值 |
0.001325 |
0.001334 |
0.001334 |
0.679% |
0.001334 |
0.679% |
|
变异系数 |
0.012004 |
0.007986 |
0.007986 |
—— |
0.007824 |
—— |
|
|
|
估计值 |
-0.001326 |
-0.001316 |
-0.001316 |
0.754% |
-0.001318 |
0.603% |
|
变异系数 |
0.011960 |
0.007962 |
0.007962 |
—— |
0.007801 |
—— |
|
|
|
估计值
(×10-4) |
3.31932 |
3.29196 |
3.29196 |
0.824% |
3.29497 |
0.734% |
|
变异系数 |
0.012291 |
0.008307 |
0.008307 |
—— |
0.008132 |
—— |
|
|
|
估计值 |
0.001562 |
0.001586 |
0.001586 |
1.536% |
0.001585 |
1.472% |
|
变异系数 |
0.019196 |
0.013415 |
0.013415 |
—— |
0.013119 |
—— |
|
|
|
估计值 |
0.001575 |
0.001607 |
0.001607 |
2.032% |
0.001605 |
1.905% |
|
变异系数 |
0.019219 |
0.013125 |
0.013125 |
—— |
0.012883 |
—— |
|
|
|
估计值 |
0.001562 |
0.001552 |
0.001552 |
0.640% |
0.001557 |
0.320% |
|
变异系数 |
0.019218 |
0.013225 |
0.013225 |
—— |
0.012921 |
—— |
|
|
|
估计值
(×10-4) |
3.67274 |
3.65095 |
3.65095 |
0.593% |
3.64902 |
0.646% |
|
变异系数 |
0.020699 |
0.014508 |
0.014508 |
—— |
0.014245 |
—— |
|
备注：表中的相对误差项表示将表中的Monte Carlo分析结果作为精确解，其它方法的估计值与精确解比较的相对误差，以下相同。
从上述九盒段机翼模拟结构的工程算例可以看出，传统重要抽样法和改进重要抽样法在计算功能函数次数之比为6×104：57530时，两者的可靠性试验灵敏度估计值和估计值变异系数均相同。而在计算功能函数值次数均为6×104时，改进重要抽样法得到的灵敏度估计值的变异系数要小于传统重要抽样法得到的结果，可靠性试验灵敏度估计结果也更加精确。
算例3.2：某内压圆筒形容器图3.1所示，其所用材料15MnV，基本随机变量取为内径
、内压强
、壁厚
以及屈服强度
，原始数据取自文献[14]，基本随机变量相互独立且服从正态分布，其分布参数见表3 2。对于常见的内压圆筒形薄壁容器受二向应力[14],即轴向应力
，周向应力
，径向应力
。根据第一强度理论可得内压圆筒的极限状态函数为：
。式中
为等价应力，选用第一强度理论时对于本例
。结构的失效概率及可靠性试验灵敏度计算结果在表3 3中给出。
|
表3 2 算例3.2基本随机变量的分布参数
|
图3.1 内压圆筒形容器示意图 |
表3 3 算例3.2的失效概率及可靠性试验灵敏度计算结果
|
方法 |
Monte
Carlo |
传统
重要抽样 |
改进重要抽样 |
||||
|
计算功能函数值次数 |
107 |
105 |
89247 |
105 |
|||
|
|
估计值(×10-4) |
4.579 |
4.59785 |
4.59785 |
0.412% |
4.58679 |
0.170% |
|
变异系数 |
0.014775 |
0.006091 |
0.006091 |
—— |
0.005755 |
—— |
|
|
|
估计值(×10-5) |
2.7019 |
2.52315 |
2.52315 |
6.616% |
2.5197 |
6.743% |
|
变异系数 |
0.037874 |
0.018458 |
0.018458 |
—— |
0.017469 |
—— |
|
|
|
估计值(×10-4) |
4.51372 |
4.51798 |
4.51798 |
0.094% |
4.50377 |
0.220% |
|
变异系数 |
0.015489 |
0.006211 |
0.006211 |
—— |
0.005867 |
—— |
|
|
|
估计值(×10-4) |
-6.35394 |
-6.29526 |
-6.29526 |
0.924% |
-6.28246 |
1.125% |
|
变异系数 |
0.019508 |
0.008579 |
0.008579 |
—— |
0.008097 |
—— |
|
|
|
估计值(×10-5) |
-3.51183 |
-3.55497 |
-3.55497 |
1.228% |
-3.55004 |
1.089% |
|
变异系数 |
0.015532 |
0.006222 |
0.006222 |
—— |
0.005884 |
—— |
|
|
|
估计值(×10-6) |
7.8915 |
7.79646 |
7.79646 |
1.204% |
8.13953 |
3.143% |
|
变异系数 |
0.181385 |
0.087971 |
0.087971 |
—— |
0.079824 |
—— |
|
|
|
估计值(×10-4) |
9.82728 |
9.8257 |
9.8257 |
0.016% |
9.79176 |
0.361% |
|
变异系数 |
0.017763 |
0.007151 |
0.007151 |
—— |
0.006762 |
—— |
|
|
|
估计值(×10-4) |
6.57051 |
6.58925 |
6.58925 |
0.285% |
6.56984 |
0.285% |
|
变异系数 |
0.034813 |
0.016573 |
0.016573 |
—— |
0.015649 |
—— |
|
|
|
估计值(×10-5) |
7.8879 |
8.02906 |
8.02906 |
1.790% |
8.03193 |
1.826% |
|
变异系数 |
0.018146 |
0.007240 |
0.007240 |
—— |
0.006850 |
—— |
|
从算例3.2的内压圆筒的工程算例可以看出，传统重要抽样法和改进重要抽样法在计算功能函数次数之比为105：89247时，两者的可靠性试验灵敏度估计值及其变异系数均相同。而在计算功能函数值次数均为105时，改进重要抽样法得到的灵敏度估计值的变异系数比传统重要抽样法得到的结果小。算例3.1和算例3.2的工程算例充分说明了文中提出的改进的重要抽样可靠性试验灵敏度分析方法在工程应用中是一种高效的可靠性试验灵敏度分析方法。
算例3.3：串联系统由两个失效模式构成，其功能函数分别为
，
，其中包含的随机变量均服从标准正态分布且相互独立。表3 4给出了失效概率及可靠性试验灵敏度估计值的对照。
表3 4 算例3.3的失效概率及其对变量均值和标准差的灵敏度计算结果
|
方法 |
Monte Carlo |
传统重
要抽样 |
改进重要抽样 |
||||
|
结构分析的次数 |
107 |
105 |
86824 |
105 |
|||
|
|
估计值
(×10-4) |
5.5555 |
5.49429 |
5.49429 |
1.102% |
5.50027 |
0.994% |
|
变异系数 |
0.013413 |
0.008752 |
0.008752 |
—— |
0.008146 |
—— |
|
|
|
估计值 |
0.001866 |
0.001845 |
0.001845 |
1.125% |
0.001847 |
1.018% |
|
变异系数 |
0.013787 |
0.008738 |
0.008738 |
—— |
0.008132 |
—— |
|
|
|
估计值
(×10-4) |
1.13748 |
1.08419 |
1.08419 |
4.685% |
1.0774 |
5.281% |
|
变异系数 |
0.076383 |
0.035376 |
0.035376 |
—— |
0.033193 |
—— |
|
|
|
估计值 |
0.006066 |
0.005989 |
0.005989 |
1.269% |
0.005997 |
1.137% |
|
变异系数 |
0.014019 |
0.008287 |
0.008287 |
—— |
0.007713 |
—— |
|
|
|
估计值
(×10-4) |
1.99396 |
1.92066 |
1.92066 |
3.676% |
1.91251 |
4.085% |
|
变异系数 |
0.135098 |
0.038167 |
0.038167 |
—— |
0.035667 |
—— |
|
从上述多模式串联系统的算例可以看出，传统重要抽样法和改进重要抽样法在结构分析次数之比为
时，两者的可靠性试验灵敏度估计值及其变异系数均相同。本例为两个失效模式，那么改进方法节省的功能函数值计算次数就更多了，效率提高得更加明显。在结构分析次数均为
时，改进重要抽样法得到的灵敏度估计值的变异系数比传统重要抽样法小。因此，改进重要抽样法在分析多模式串联系统的可靠性试验灵敏度时具有更高的估算效率。
