可靠性试验分析的降阶积分法

可靠性试验分析的降阶积分法

由于非正态相关随机变量可以转化为正态独立随机变量，本章仍主要讨论相互独立的正态随机变量情况的结构的可靠性试验灵敏度分析。

假设所研究问题包含的维基本变量相互独立且均服从正态分布，，和分别为的均值与标准差。以表示极限状态函数，则结构的失效域。以表示基本变量的联合概率密度函数，则结构的失效概率如式所示。

首先利用式对变量进行标准正态化

经过上式变换后，即为所对应的标准正态化向量。

一般的，式中联合概率密度函数比较复杂，积分上下限也不明确，特别是在具有多随机变量时，情况变得更复杂，使积分求解十分困难。利用独立标准正态变量空间的几个重要性质，将随机变量空间的坐标轴通过下面的公式转换成极坐标形式后，原来复杂的积分形式变得比较简洁而富有规律。

经过坐标转换之后，为了求得具有个随机变量的维正交标准正态空间中超球体域的积分精确值，文献[1]采用归纳的方法，先讨论低维变量空间的情况，再得出高维及维变量空间的积分形式。

3.1.1 单模式的降阶积分法

3.1.1.1 二维随机变量时可靠性试验分析的降阶积分法

对于相互独立的二维随机变量，标准正态化后得到，，通过式进行极坐标转换联合概率密度函数变为

把离散为，即，这样就把整个坐标空间分成个以原点为圆心、为射线角的扇形，它们与失效边界的交点处的特征半径记为，如图5.1所示。记为独立的二维标准正态变量空间中以原点为圆心、半径为的圆形区域内侧的联合概率密度函数的积分（以下类同），则有[1]

图5.1 单模式的降阶积分法示意图

相应的，记为在上述区域外侧的概率积分（以下类同），有

假设结构的失效域为超球外侧的区域，则结构的失效概率如式所示。

其中表示第个微元体对应的结构的失效概率，以下类同。

若结构的失效域为超球内侧的区域，则结构的失效概率如式所示。

为描述方便起见，下面均假定结构的失效域为超球体外侧的区域，对于失效域为超球体内侧区域的情况可以由式类似地推得。

3.1.1.2 三维随机变量时可靠性试验分析的降阶积分法

对于相互独立的三维变量，标准正态化后得到，，通过式进行极坐标转换后联合概率密度函数变为

与二维的情况类似，把、离散为、，即、，这样就把三维空间划分为个以原点为顶点的微棱锥，它们与失效面相交处的特征半径记为记。则有

其中为标准正态分布变量的累积分布函数。

结构的失效域为超球外侧的区域时，结构的失效概率如式所示。

其中为以为半径的球的表面积，为以为高度的微棱锥在球面上部分的面积，可分别由式和式求得。

其中，、分别为角坐标的起始与终了坐标值。

3.1.1.3 其他维数随机变量时可靠性试验分析的降阶积分法

(1) 当变量维数为偶数时：

(2) 当变量维数为奇数时：

对应于可靠性试验问题，超球体域外侧为失效域时，结构的失效概率为：

其中为以为半径的超球的体积，为以为高度的微元体的体积。