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定义在所有微元体与结构失效边界的交点中概率密度最大的点为近似设计点，由均值点到近似设计点的单位方向向量为重要方向
。以
表示过中心点
且垂直于重要方向
的超平面，由式确定
其中
和
分别表示
和
的第
个分量。
定义
为极限状态函数
的可靠度指标，则有
从而可以求得
和
如下所示。
将式和式分别代入式可得随机变量为任意维数时结构可靠性试验灵敏度的通用形式。
同样的，将式和式分别代入式和式可以得到二维和三维变量时结构的可靠性试验灵敏度的具体形式，这里不再罗列。
算例5.1：非线性极限状态
，其中各随机变量相互独立并服从标准正态分布。用本章所提的降阶积分法对结构进行可靠性试验灵敏度分析的结果列于表5 1中。
表5 1 算例5.1的可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析结果
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|
|
|
|
Monte Carlo |
-0.010182 |
0.0037515 |
0.025697 |
0.0040735 |
0.003630 |
|
|
降阶积分 |
1 |
-0.010165
(0.167%)* |
0.0037674
(0.424%) |
0.025640
(0.223%) |
0.0040098
(1.564%) |
0.004109
(0.165%) |
|
2 |
-0.01036
(1.753%) |
0.0038517
(2.669%) |
0.026049
(1.369%) |
0.0036006
(11.611%) |
||
注意：()*表示降阶积分法所得的失效概率及其对变量分布参数的可靠性试验灵敏度的计算结果相对于直接Monte Carlo法抽样107次所得到的结果的相对误差。表中的1、2分别对应于文中所提的两种可靠性试验灵敏度计算方法。以下类似。
由上表容易看出，对于此二维标准正态随机变量、非线性极限状态函数，用降阶积分法分析结构的可靠性试验灵敏度可以得到精度较高的结果。
算例5.2：非线性极限状态函数为
，其中
，
，且相互独立。采用本章的降阶积分法对结构进行可靠性试验灵敏度的结果见表5 2。
表5 2 算例5.2的可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析结果
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|
|
|
|
|
|
|
|
Monte Carlo |
0.004200 |
6.187×10-4 |
0.010115 |
1.855×10-4 |
0.007678 |
|
|
降阶积分 |
1 |
0.004217
(0.400%) |
6.288×10-4
(1.634%) |
0.010098
(0.169%) |
2.001×10-4
(7.871%) |
0.007746
(0.880%) |
|
2 |
0.004219
(0.454%) |
6.668×10-4
(7.770%) |
0.010097
(0.182 %) |
2.017×10-4
(8.756%) |
||
算例5.3：系统的两个失效模式
，
，各随机变量相互独立且服从标准正态分布。分别考虑两个失效模式为串联和并联时，采用降阶积分法对系统进行可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析的结果列于表5 3中。
表5 3 算例5.3的可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析结果
|
|
|
|
|
|
|
||
|
串联 |
Monte Carlo |
|
-0.006915 |
0.011962 |
0.011598 |
0.027648 |
0.004855 |
|
降阶积分 |
1 |
-0.006820
(1.373%) |
0.011972
(0.082%) |
0.011314
(2.443%) |
0.027712
(0.231%) |
0.007746
(0.880%) |
|
|
2 |
-0.007064
(2.148%) |
0.011921
(0.344%) |
0.011406
(1.647%) |
0.027620
(0.102%) |
|||
|
并联 |
Monte Carlo |
|
-0.001937 |
0.002233 |
0.003664 |
0.005040 |
0.0008768 |
|
降阶积分 |
1 |
-0.001804
(6.853%) |
0.002141
(4.109%) |
0.003428
(6.438%) |
0.004784
(5.065%) |
0.0008363
(4.621%) |
|
|
2 |
-0.001838
(5.097%) |
0.002094
(6.231%) |
0.003756
(2.528%) |
0.004456
(11.583%) |
|||
算例5.4：如图5.3所示矩形截面悬臂梁受到水平和竖直方向的载荷
和
作用，以其自由端位移不超过
(
=2.2)为约束建立极限状态函数为
，其中
，式中
分别为梁的弹性模量、宽度和厚度。其中
为已知常量，
，将
看作是独立正态分布随机变量，其分布参数见表5 4，表5 5给出了基于降阶积分的可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析结果。
|
表5 4 悬臂梁随机变量的数字特征
|
图5.3 矩形截面悬臂梁 |
表5 5算例5.4的可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析结果
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|
Monte Carlo* |
降阶积分 |
|||
|
1 |
2 |
||||
|
|
0.002707 |
0.002722 |
0.554% |
0.002722 |
0.554% |
|
|
7.239×10-5 |
7.283×10-5 |
0.611% |
7.413×10-5 |
2.401% |
|
|
1.643×10-5 |
1.637×10-5 |
0.341% |
1.712×10-5 |
4.224% |
|
|
-2.618×10-9 |
-2.632×10-9 |
0.550% |
-2.727×10-9 |
4.179% |
|
|
1.751×10-4 |
1.762×10-4 |
0.599% |
1.777×10-4 |
1.468% |
|
|
1.088×10-5 |
1.075×10-5 |
1.167% |
9.481×10-5 |
12.86% |
|
|
3.333×10-9 |
3.352×10-9 |
0.579% |
3.488×10-9 |
4.635% |
注意：*本例的Monte Carlo法抽样108次。
对于此变量维数为三维的工程算例，基于降阶积分法的可靠性试验灵敏度仍可以得到较为精确的结果，并且方法1的估算精度要更高一些。
