基于修正的Latin方抽样的可靠性试验灵敏度分析

基于修正的Latin方抽样的可靠性试验灵敏度分析

上述抽样过程中矩阵是随机产生的，其各列间难免会引入一定的统计相关，自然会影响到可靠性试验灵敏度估计值的偏度和方差。

随机排列的整数矩阵各列间的统计相关由排列相关矩阵描述，矩阵中的元素是的第列和第列间的Spearman系数，其定义为[7]

其中是两个样本排列的序差，为样本容量。显然是一个维的对称矩阵，并且中各列间不存在统计相关时是一个单位阵。

修正的Latin方抽样采用统计相关的减小方程, 使得上面提到的统计相关问题得到改善。修正的Latin方抽样与Latin方抽样具有相同的理论背景，对Latin方抽样的使用范围和要求等没有任何改变，可以广泛应用到结构可靠性试验分析和可靠性试验灵敏度分析过程中。

Latin方抽样产生随机排列的整数矩阵（区间秩数矩阵）后，由排列相关矩阵描述各列间的统计相关，矩阵的各个元素按照式产生。假设是一个下三角矩阵，且满足下面的关系式

其中表示的转置，矩阵可以由式得到。

其中是一个下三角矩阵，满足

考虑到的实现过程，是正定矩阵，所以可以对进行Cholesky分解容易得到矩阵，进而可得。最后采用下面的转换公式可以得到一个的矩阵。

同样的，可以用排列相关矩阵描述各列间的统计相关，由文献[8]的证明可以知道更接近于单位阵。可以按照中各列数据的大小顺序重新排列矩阵，使得矩阵中两个样本的序差与矩阵中两个样本的序差相同，显然矩阵的排列相关矩阵等于，从而矩阵各列间的统计相关可以得到一定程度的减小。上述过程反复迭代进行可以使排列相关矩阵越来越接近于单位阵，以达到对随机排列的整数矩阵进行修正的目的。

4.3 算例分析

算例6.1：线性极限状态函数为，其中各随机变量相互独立并服从标准正态分布，表61给出Monte Carlo法抽样107次所得到的失效概率和失效概率对变量分布参数的可靠性试验灵敏度估计结果，图6.1、图6.2分别给出直接Monte Carlo(MC)、Latin方抽样(Latin hypercube sampling, LHS)以及修正的Latin方抽样(updated Latin hypercube sampling, ULHS)三种不同方法均抽取600个样本各20次所得到的20组失效概率对变量均值的可靠性试验灵敏度估计值的直方图和估计值方差的直方图。这里仅给出了失效概率对变量均值的可靠性试验灵敏度的分析结果，失效概率对其他变量分布参数的可靠性试验灵敏度与之类似。

 

表61 算例6.1的失效概率及其可靠性试验灵敏度(Monte Carlo法抽样107次)

估计值	0.239793	0.219698	0.219804	0.109844	0.109983

 

可靠性试验灵敏度	可靠性试验灵敏度	可靠性试验灵敏度
(a)	(b)	(c)
图6.1失效概率对x1均值的可靠性试验灵敏度估计值的直方图

备注：直方图中的图a、b、c分别表示对应于MC、LHS和ULHS三种方法所得到的可靠性试验灵敏度估计值的直方图，以下相同。

 

可靠性试验灵敏度×10-4	可靠性试验灵敏度×10-4	可靠性试验灵敏度×10-4
(a)	(b)	(c)
图6.2失效概率对x1均值的可靠性试验灵敏度估计值方差的直方图

 

对于此线性极限状态函数算例，由失效概率对变量均值的可靠性试验灵敏度估计值及其方差的直方图容易看出，在样本容量很小的情况下（本例抽样600次），Latin方抽样和修正的Latin方抽样比Monte Carlo法抽样相同的次数得到的可靠性试验灵敏度估计值更加集中、估计值方差的分散性更小。另外，比较图6.2中的b、c两图可以看出，修正的Latin方抽样比Latin方抽样得到的可靠性试验灵敏度估计值的方差的分散性更小。

算例6.2：非线性极限状态，其中各随机变量相互独立并服从标准正态分布。表62给出Monte Carlo法抽样107次所得到的失效概率和失效概率对变量分布参数的可靠性试验灵敏度估计结果，图6.3、图6.4和图6.5、图6.6分别给出三种不同方法均抽取2000个样本各20次所得到的20组失效概率对变量的标准差和的标准差可靠性试验灵敏度估计值的直方图及估计值方差的直方图。

 

表62 算例6.2的失效概率及其可靠性试验灵敏度（Monte Carlo法抽样107次）

估计值	0.003630	-0.010182	0.003752	0.025697	0.004074

 

可靠性试验灵敏度	可靠性试验灵敏度	可靠性试验灵敏度
(a)	(b)	(c)
图6.3 失效概率对x1标准差的可靠性试验灵敏度估计值的直方图

 

可靠性试验灵敏度×10-4	可靠性试验灵敏度×10-4	可靠性试验灵敏度×10-4
(a)	(b)	(c)
图6.4 失效概率对x1标准差的可靠性试验灵敏度估计值方差的直方图

 

可靠性试验灵敏度×10-3	可靠性试验灵敏度×10-3	可靠性试验灵敏度×10-3
(a)	(b)	(c)
图6.5 失效概率对x2标准差的可靠性试验灵敏度估计值的直方图

 

可靠性试验灵敏度×10-5	可靠性试验灵敏度×10-5	可靠性试验灵敏度×10-5
(a)	(b)	(c)
图6.6 失效概率对x2标准差的可靠性试验灵敏度估计值方差的直方图

 

对于此非线性极限状态函数算例，从图6.3～图6.6中的a、b两图的对比容易看出，Latin方抽样比Monte Carlo抽样相同的次数所得到的估计值更加集中、估计值方差的分散性更小；从图6.3～图6.6中的b、c两图的对比可以看出，当可靠性试验灵敏度较大(如失效概率对变量的标准差可靠性试验灵敏度)时，修正的Latin方抽样比未修正的Latin方抽样得到的估计值更加集中、估计值方差的分散性更小；当可靠性试验灵敏度较小(如失效概率对变量的标准差可靠性试验灵敏度)时，修正的Latin方抽样得到的估计值的集中性和估计值方差的分散性并不比未修正的Latin方抽样好，这是因为可靠性试验灵敏度较小时，需要较大的样本才能得到收敛的估计结果，但是样本容量增加后修正的Latin方抽样方法比之于未修正的Latin方抽样法的优点将会降低。但是，不论可靠性试验灵敏度大小如何，在样本容量适中的情况下（本例抽样2000次），Latin方抽样和修正的Latin方抽样均比Monte Carlo法得到的估计值更加集中、估计值方差的分散性更小，在结构可靠性试验灵敏度分析中Latin方抽样和修正的Latin方抽样是一种高效的分析方法。

算例6.3：对于算例2.2的九盒段结构，采用MC、LHS和ULHS对其进行可靠性试验灵敏度分析，表63给出Monte Carlo法抽样107次所得到的失效概率及其对变量分布参数的可靠性试验灵敏度估计结果，图6.7和图6.8分别给出三种不同方法均抽取800个样本各20次所得到的20组失效概率对变量的标准差可靠性试验灵敏度估计值的直方图及估计值方差的直方图。

 

表63 算例6.3的失效概率及其可靠性试验灵敏度（Monte Carlo法抽样107次）

估计值(×10-3)	-1.326	1.323	-1.324	0.332	9.782
估计值(×10-3)	1.564	1.568	1.557	0.368

 

可靠性试验灵敏度×10-4	可靠性试验灵敏度×10-4	可靠性试验灵敏度×10-4
(a)	(b)	(c)
图6.7失效概率对变量P标准差的可靠性试验灵敏度估计值的直方图

 

可靠性试验灵敏度×10-7	可靠性试验灵敏度×10-7	可靠性试验灵敏度×10-7
(a)	(b)	(c)
图6.8失效概率对变量P标准差的可靠性试验灵敏度估计值方差的直方图

 

由此工程算例可以看出，用Latin方抽样和修正的Latin方抽样得到的可靠性试验灵敏度估计值更加集中、估计值方差的分散性更小。由图6.7和图6.8中b、c两图的对比容易看出，修正的Latin方抽样所得到的可靠性试验灵敏度估计结果更加稳定，这充分说明Latin方抽样方法，特别是修正的Latin方抽样方法在工程应用中是一种估算更加稳定、效率更高的可靠性试验灵敏度分析方法。

算例6.4：串联结构系统包含两个失效模式，分别为，，其中的两个基本随机变量、均服从标准正态分布，表64给出Monte Carlo法抽样107次所得到的失效概率和失效概率对变量分布参数的可靠性试验灵敏度估计结果，图6.9、图6.10分别给出三种不同方法均抽取2000个样本各20次所得到的20组失效概率对变量标准差的可靠性试验灵敏度估计值的直方图及估计值方差的直方图。

 

表64 算例6.4的失效概率及其可靠性试验灵敏度(Monte Carlo法抽样107次)

估计值	0.0027847	0.0025043	0.0076974	0.0068206	0.0198143

 

可靠性试验灵敏度×10-3	可靠性试验灵敏度×10-3	可靠性试验灵敏度×10-3
(a)	(b)	(c)
图6.9 失效概率对x1标准差的可靠性试验灵敏度估计值的直方图

 

可靠性试验灵敏度×10-5	可靠性试验灵敏度×10-5	可靠性试验灵敏度×10-5
(a)	(b)	(c)
图6.10 失效概率对x1标准差的可靠性试验灵敏度估计值方差的直方图

 

对于此多模式算例，由以上可靠性试验灵敏度估计值及其方差的直方图容易看出，在样本容量较小的情况下（本例抽样2000次），Latin方抽样和修正的Latin方抽样比Monte Carlo法抽样相同的次数得到的可靠性试验灵敏度估计值更加集中、估计值方差的分散性更小。另外，比较图6.9、图6.10中的b、c两图可以看出，修正的Latin方抽样比Latin方抽样得到的估计值更加集中、估计值的方差的分散性更小。

综合比较四个算例可以看出，抽样的样本数量越小Latin方抽样估算结果稳定性好的优点越明显。