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算例7.1：功能函数
，其中
，
为模糊变量，下面分别假设其隶属函数为对称梯形分布、对称抛物型分布和对称柯西型分布。表7 1、表7 2和表7 3分别给出了在上述不同隶属函数分布情况下，结构的模糊随机可靠性试验和可靠性试验灵敏度的数字模拟解以及采用不同等价正态化方法后结合线抽样方法所得的可靠性试验灵敏度估算结果。图7.5、图7.6和图7.7给出了文中所提的不同等价方法对上述三种不同分布形式的隶属函数的近似等价正态化的对照结果。
（1）假设模糊变量
的隶属函数为对称梯形分布，其中心值
、模糊幅度分别为：
，
。
表7 1 算例7.1
的隶属函数为对称梯形分布时模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度结果
|
方法 |
|
|
|
|
|
Pf |
|
By |
|
数值模拟 |
估计值 |
0.004517 |
0.010566 |
0.0006839 |
0.0001471 |
0.008474 |
5×107 |
—— |
|
变异系数 |
0.004572 |
0.004817 |
0.006665 |
0.025839 |
0.004441 |
|||
|
最大最小 |
估计值 |
0.004546 |
0.010593 |
0.0006872 |
0.0001464 |
0.008559 |
300 |
10.132 |
|
相对误差* |
0.641% |
0.256% |
0.494% |
-0.468% |
0.999% |
|||
|
变异系数 |
0.001563 |
0.001280 |
0.001563 |
0.001280 |
0.001788 |
|||
|
等面积 |
估计值 |
0.004530 |
0.010570 |
0.0006847 |
0.0001416 |
0.008517 |
300 |
9.9736 |
|
相对误差* |
0.276% |
0.039% |
0.127% |
-3.771% |
0.503% |
|||
|
变异系数 |
0.001501 |
0.001230 |
0.001501 |
0.001230 |
0.001717 |
*表示：将模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度的数字模拟解作为其真实值，将线抽样的估算结果与之对比所得到的相对误差。另外，表中的相对误差项没有考虑线抽样方法所引起的误差，即认为对于不同的近似等价正态化方法，线抽样方法的精度对最终估算结果的影响均是相同的，以下相同。
由表7 1中计算结果可以看出，对于
较小的情况（本例为1/24），利用“最大最小”法和“等面积”法近似等价正态化对称梯形隶属函数后结合线抽样方法均可以得到较高精度的可靠性试验及可靠性试验灵敏度估算结果。
图7.5 算例7.1对称梯形隶属函数近似等价正态化结果
（2）假设模糊变量
的隶属函数为
的对称抛物型分布，其中心值
和模糊幅度
分别为：
，
。
表7 2 算例7.1
的隶属函数为对称抛物型分布时模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度结果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
数值模拟 |
估计值 |
0.004102 |
0.009964 |
0.000608 |
3.817×10-5 |
0.0074413 |
2×108 |
—— |
|
变异系数 |
0.002823 |
0.002916 |
0.011216 |
0.090500 |
0.002774 |
|||
|
最大最小 |
估计值 |
0.004078 |
0.009924 |
0.000602 |
2.156×10-5 |
0.0073827 |
300 |
2.824 |
|
相对误差 |
-0.586% |
-0.397% |
-1.053% |
-43.533% |
-0.788% |
|||
|
变异系数 |
0.000110 |
9.161×10-5 |
0.000110 |
9.161×10-5 |
0.000125 |
|||
|
等面积 |
估计值 |
0.004083 |
0.009932 |
0.000603 |
2.451×10-5 |
0.007395 |
300 |
3.0090 |
|
相对误差 |
-0.460% |
-0.320% |
-0.900% |
-35.807% |
-0.618% |
|||
|
变异系数 |
0.000125 |
0.000104 |
0.000125 |
0.000104 |
0.000142 |
|||
|
改进
最大最小 |
估计值 |
0.004100 |
0.009957 |
0.000606 |
3.419×10-5 |
0.007437 |
300 |
3.5090 |
|
相对误差 |
-0.047% |
-0.066% |
-0.402% |
-10.431% |
-0.063% |
|||
|
变异系数 |
0.000175 |
0.000145 |
0.000175 |
0.000145 |
0.000199 |
|||
|
改进
等面积 |
估计值 |
0.004099 |
0.009956 |
0.000606 |
3.346×10-5 |
0.007434 |
300 |
3.5467 |
|
相对误差 |
-0.079% |
-0.085% |
-0.440% |
-12.354% |
-0.105% |
|||
|
变异系数 |
0.000171 |
0.000142 |
0.000171 |
0.000142 |
0.000194 |
图7.6算例7.1对称抛物型隶属函数近似等价正态化结果
由表7 2中计算结果可以看出，对于失效概率和失效概率对变量分布参数的可靠性试验灵敏度（
除外），“最大最小”法和“等面积”法均可以得到精度较高的估算结果，而
需采用“改进最大最小”法和“改进等面积”法才能得到较高精度的估算结果，其中“改进最大最小”法的精度更高一些。且由图7.6的对照结果也可以看出改进方法能够更好的近似原对称抛物型隶属函数。
（3）假设模糊变量
的隶属函数为
对称柯西型分布，分布参数为
，
。
表7 3 算例7.1
的隶属函数为对称柯西型分布时模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度结果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
数值模拟 |
估计值 |
0.004087 |
0.009953 |
0.000602 |
-0.000938 |
0.007399 |
109 |
—— |
|
变异系数 |
0.001408 |
0.001457 |
0.007512 |
0.074888 |
0.001382 |
|||
|
等面积 |
估计值 |
0.004073 |
0.009918 |
0.0006011 |
-0.000759 |
0.007372 |
300 |
2.6504 |
|
相对误差 |
-0.338% |
-0.356% |
-0.105% |
-19.150% |
-0.367% |
|||
|
变异系数 |
9.688×10-5 |
8.057×10-5 |
9.688×10-5 |
8.057×10-5 |
0.000110 |
由表7 3中计算结果可以看出，利用“等面积”法近似等价正态化对称柯西型隶属函数后结合线抽样方法均可以得到可靠性试验及可靠性试验灵敏度的较高精度的估算结果。对
的估计得到了相对误差低于20%的估计值。
图7.7 算例7.1对称柯西型隶属函数近似等价正态化结果
算例7.2：重新考虑图2.1所示的九盒段结构[9]。
为第
个单元的强度，均为服从正态分布的基本随机变量
，
；载荷P为具有对称梯形隶属函数的模糊变量，其中心值
，模糊幅度
，
。由失效模式的枚举方法可求得结构体系的一个主要失效模式的极限状态函数为：
。表7 4给出了采用不同方法所得的模糊随机可靠性试验灵敏度计算结果，图7.8给出了两种不同方法对原对称梯形隶属函数的近似等价正态化的对照结果。
图7.8 对称梯形隶属函数的近似等价正态化对照图
表7 4 算例7.2含对称梯形模糊变量结构的模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析结果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
数值模拟 |
估计值 |
0.006173 |
0.001599 |
0.001683 |
5×107 |
—— |
|
|
变异系数 |
0.015046 |
0.048822 |
0.013567 |
||||
|
最大最小 |
估计值 |
0.006292 |
0.001929 |
0.001676 |
150 |
0.2994 |
|
|
相对误差 |
1.917% |
20.641% |
-0.441% |
||||
|
变异系数 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
1.755×10-9 |
||||
|
等面积 |
估计值 |
0.006261 |
0.001881 |
0.001665 |
240 |
0.2962 |
|
|
相对误差 |
1.416% |
17.648% |
-1.049% |
||||
|
变异系数 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
2.781×10-9 |
||||
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
数值模拟 |
估计值 |
-0.025681 |
0.042606 |
0.025380 |
0.041785 |
-0.025094 |
0.041259 |
|
变异系数 |
0.015164 |
0.020460 |
0.015138 |
0.020286 |
0.015337 |
0.021126 |
|
|
最大最小 |
估计值 |
-0.025167 |
0.041307 |
0.025165 |
0.041303 |
-0.025167 |
0.041307 |
|
相对误差 |
-2.003% |
-3.049% |
-0.846% |
-1.154% |
0.291% |
0.115% |
|
|
变异系数 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
|
|
等面积 |
估计值 |
-0.025043 |
0.041157 |
0.025042 |
0.041153 |
-0.025043 |
0.041157 |
|
相对误差 |
-2.485% |
-3.400% |
-1.334% |
-1.513% |
-0.202% |
-0.248% |
|
|
变异系数 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
此工程算例，采用“最大最小”法和“等面积”法进行等价正态化后结合线抽样进行估算，得到了较高精度的模糊随机失效概率及模糊随机可靠性试验灵敏度。
算例7.3：非线性功能函数
，其中
，
为具有
的对称抛物型隶属函数的模糊变量，其中心值
和模糊幅度
分别为：
，
。不同方法所得的可靠性试验及可靠性试验灵敏度估算结果如表7 6所示。图7.9给出了四种不同近似方法对原对称抛物型隶属函数的近似等价正态化的对照结果。
表7 5 算例7.3的模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析结果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
数值模拟 |
估计值 |
0.000681 |
0.002067 |
-0.000383 |
0.000185 |
0.000210 |
5×107 |
—— |
|
变异系数 |
0.029287 |
0.035831 |
0.018117 |
0.020127 |
0.025235 |
|||
|
最大最小 |
估计值 |
0.000199 |
0.000680 |
-0.000138 |
4.507×10-5 |
5.500×10-5 |
300 |
1.0847 |
|
相对误差 |
-70.745% |
-67.099% |
-64.034% |
-75.589% |
-73.836% |
|||
|
变异系数 |
0.009996 |
0.009393 |
0.009996 |
0.009393 |
0.010532 |
|||
|
等面积 |
估计值 |
0.000269 |
0.000891 |
-0.000177 |
6.502×10-5 |
7.669×10-5 |
300 |
1.1968 |
|
相对误差 |
-60.423% |
-56.915% |
-53.714% |
-64.783% |
-63.515% |
|||
|
变异系数 |
0.011065 |
0.010389 |
0.011065 |
0.010389 |
0.011662 |
|||
|
改进
最大最小 |
估计值 |
0.000634 |
0.001884 |
-0.000374 |
0.000186 |
0.000200 |
300 |
1.5528 |
|
相对误差 |
-6.820% |
-8.879% |
-2.303% |
0.773% |
-5.089% |
|||
|
变异系数 |
0.013429 |
0.012521 |
0.013429 |
0.012521 |
0.014215 |
|||
|
改进
等面积 |
估计值 |
0.000517 |
0.001577 |
-0.000313 |
0.000146 |
0.000159 |
300 |
1.4620 |
|
相对误差 |
-24.025% |
-23.710% |
-18.170% |
-21.075% |
-24.488% |
|||
|
变异系数 |
0.012894 |
0.012044 |
0.012894 |
0.012044 |
0.013633 |
由表7 6中结果可以看出“改进最大最小”法的精度是四种等价正态化方法中最高的，由其确定正态型隶属函数，再结合线抽样方法能够得到精度较高的可靠性试验及可靠性试验灵敏度估计结果，而其它三种等价正态化方法得到的估算结果误差较大，特别是将“最大最小”法和“等面积”法确定的正态型隶属函数直接用于模糊随机失效概率及可靠性试验灵敏度的估算其相对误差是我们无法接受的。
图7.9 算例7.3对称抛物型隶属函数近似等价正态化结果
算例7.4：某内压圆筒形容器如图7.10所示，其所用材料15MnV，原始数据取自文献[10]，基本随机变量取为内径
、壁厚
以及屈服强度
，基本随机变量相互独立且服从正态分布，其分布参数见表7 6。内压强
为具有对称柯西型隶属函数（
）的模糊变量，其分布参数为：
，
。由算例3.2可知对于常见的内压圆筒形薄壁容器选用第一强度理论时
。采用不同方法所得的模糊随机可靠性试验灵敏度计算结果如表7 7所示。图7.11给出了等效近似方法对隶属函数近似等价正态化的对照结果。
|
表7 6算例7.4基本随机变量的分布参数
|
图7.10 内压圆筒形容器示意图 |
图7.11 对称柯西型隶属函数的近似等价正态化结果
表7 7 算例7.4的模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析结果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
数值模拟 |
估计值 |
0.006436 |
-0.0004958 |
0.006900 |
5×107 |
—— |
—— |
|
变异系数 |
0.007189 |
0.014354 |
0.005410 |
||||
|
等面积 |
估计值 |
0.006327 |
-0.0003849 |
0.006392 |
300 |
1.0539 |
-0.0932 |
|
相对误差 |
-1.691% |
-22.367% |
-7.367% |
||||
|
变异系数 |
0.005050 |
0.004198 |
0.005744 |
||||
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
数值模拟 |
估计值 |
-0.0005154 |
0.001093 |
0.0003627 |
0.0001153 |
-0.009229 |
0.009269 |
|
变异系数 |
0.006013 |
0.006930 |
0.015665 |
0.073818 |
0.007589 |
0.014052 |
|
|
等面积 |
估计值 |
-0.0004984 |
0.001080 |
0.0003488 |
0.0001179 |
-0.008856 |
0.008686 |
|
相对误差 |
-3.301% |
-1.174% |
-3.851% |
2.269% |
-4.043% |
-6.289% |
|
|
变异系数 |
0.005050 |
0.004198 |
0.005050 |
0.004198 |
0.005050 |
0.004198 |
此工程算例采用“等面积”法对对称柯西型隶属函数进行等价正态化后结合线抽样方法得到了可靠性试验及可靠性试验灵敏度精度较高的估计值。但上述方法对于
的估算结果不精确，相对误差较高，需进一步改进。
针对对称梯形隶属函数下的结构的模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析问题，本章采用了“最大最小”法和“等面积”法对其进行等价正态化，将其转换成随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析问题，然后运用线抽样方法对失效概率及可靠性试验灵敏度进行估算，快速地、高精度地估算出模糊随机失效概率和模糊随机可靠性试验灵敏度。文中仅对模糊幅度
与
相差较大的情况进行了详细的讨论，针对两者相差不大的情况“最大最小”法及“等面积”法的等价正态化精度不高，还需要进一步的研究。
针对对称抛物型隶属函数下的结构的模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析问题，本章分别采用了“最大最小”法、“等面积”法、“改进最大最小”法和“改进等面积”法对其近似等价正态化。本章通过不同的算例比较了上述四种方法的等价正态化近似对称抛物型隶属函数的优劣，结果说明，采用本章提出的“改进最大最小”法对对称抛物型隶属函数进行等价正态化将原问题转换成随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度问题后结合线抽样方法对其进行估算，得到的可靠性试验及可靠性试验灵敏度的估算结果的精度是四种方法中最高的。
对于对称柯西型隶属函数下的结构的模糊随机可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析问题，本章采用“等面积”法对其进行等价正态化，然后结合线抽样方法进行可靠性试验及可靠性试验灵敏度分析问题。文中采用这一思路得到了模糊随机失效概率和除
外的可靠性试验灵敏度的较高精度的估计值，而对于
的估算其相对误差较大，还需进一步的研究。
